2020年8月14日。
三个中值定理,罗尔、拉格朗日、柯西。层层递进。罗尔是端点相等有其中一点导数等于0,而把这两点倾斜就变成了拉格朗日,其中肯定存在和斜线平行的,继续变成两个函数除的话,就直接是中间导数除。我是这样理解。
【例2】f(x)二阶可导,lim(x→0)f(x)/x=0,f(1)=0,求证:∃ξ∈(0,1),使f''(ξ)=0.
证明:
1°,
∵lim(x→0)f(x)/x=0,
∴lim(x→0)f(x)=0,
【可导一定连续】
又∵f(x)连续,
【极限值等于函数值】
∴f(0)=0
0=lim(x→0)f(x)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=f'(0),
∴f(0)=0,f'(0)=0,
2°,
∵f(0)=f(1)=0,
∴∃c∈(0,1),使f'(c)=0,
3°,
∵f'(0)=f'(c)=0,
∴∃ξ∈(0,c)⊂(0,1),使f''(ξ)=0.
【例3】证明:x>0时,e^x>1+x.
证:令f(t)=e^t,f'(t)=e^t.
对x>0,f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0),(0<ξ<x)
即e^x-1=xe^ξ.
∵ξ>0,∴e^ξ>1.
∴e^x-1=xe^ξ>x
即e^x>1+x,(x大于0)
【例4】0<a<b,证(b-a)/b<lnb/a<(b-a)/a,
【这道题看起来一筹莫展,如果见到三个,要有两个拉格朗日的想法】
证明:令f(x)=lnx,f'(x)=1/x≠0,(a<x<b),
lnb/a=lnb-lna=f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)=(b-a)/ξ
∵a<ξ<b
∴1/b<1/ξ<1/a
推出
(b-a)/b<(b-a)/ξ<(b-a)/a
∴(b-a)/b<lnb/a<(b-a)/a.
好的到这里3.1微分中值定理就结束了。
下一节是3.2 洛必达法则。
对于0/0型求极限,等价无穷小是有局限性的。
目标:0/0,∞/∞极限的新方法。
Th1.(0/0型)
若①f(x)、F(x)在x=a的去心邻域内可导且F'(x)≠0;
②lim(x→a)f(x)=0,lim(x→0)F(x)=0;
③lim(x→a)f'(x)/F'(x)=A,
则lim(x→a)f(x)/F(x)=A,
……
晚餐日常剩菜。
……
【笔记】lim(x→a)f(x)与f(a)无关。
……
Th1证明:【利用柯西中值定理】
【将f(x)、g(x)在x0作连续延扩(不影响定理证明也不影响极限值),则满足柯西中值定理条件,则定理得证】
【例1】lim(x→0)(x-sinx)/x³
解:原式=lim(x→0)(1-cosx)/3x²
=1/6【1-cosx∽1/2 x²】
【例2】在本子上写了。略
【例3】在本子上写了。略
Th2.(∞/∞)
若①f(x)、F(x)在x=a的去心邻域内可导且F'(x)≠0;
②lim(x→a)f(x)=∞,lim(x→0)F(x)=∞;
③lim(x→a)f'(x)/F'(x)=A,
则lim(x→a)f(x)/F(x)=A,
【证明】略
【例1】lim(x→0⁺)xlnx.
解:lim(x→0⁺)xlnx
=lim(x→0⁺)lnx/(1/x)
=lim(x→0⁺)1/x/(-1/x²)
=lim(x→0⁺)-x
=0.
【例2】lim(x→0⁺)x^sinx,
【〇的〇次方,立马来一个e^ln】
解:原式=e^lim(x→0⁺)sinxlnx
∵lim(x→0⁺)sinxlnx
=lim(x→0⁺)lnx/cscx
=lim(x→0⁺)(1/x)/(-cscx·cotx)
=-lim(x→0⁺)sinxtanx/x
=-lim(x→0⁺)x²/x
=0
∴原式=e^0=1.
【例3】
lim(x→+∞)lnx/x^a,(a>0)
=0
【例4】lim(x→+∞)x³/e^x=0.
【注解】
①lim(x→+∞)lnx/x^a=0(a>0)
②lim(x→+∞)x^a/b^x=0(a>0,b>1)
③f(x)→0,F(x)→0,(x→a)
若lim(x→a)f'(x)/F'(x)不存在,
只能说明洛必达法则不能使用,但lim(x→a)f(x)/F(x)不一定不存在。
如:f(x)=x+sinx,F(x)=x,
lim(x→0)f(x)=0,lim(x→0)F(x)=0,
且lim(x→0)f'(x)/F'(x)=lim(x→0)(1+cosx)不存在,
而lim(x→0)f(x)/F(x)=2.
洛必达就到这里吧。
看3.3 Taylor公式【泰勒公式】
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