……拐点
【例3】e^(-x²)
……两个拐点（-1/2^½，e^-½），（1/2^½，e^-½）
3.4节解决，休息看一下一会儿看3.5重要的一节，极值与最值。
……
3.5 极值与最值
一、函数的极大值与极小值
㈠define
……【】
结论：①x=a为f(x)极值点，推出，f'(a)=0或不存在，反之不对
②x=a为f(x)极值点且f(x)可导，推出，f'(a)=0，反之不对
【反例1、2】感觉这个看过
㈡求极值的步骤
1°，x∈D
2°，导数等于0或不存在确定很多个x点
3°，判别法
方法一：（第一充分条件）
Th1，①if {x＜x0时，f'(x)＜0，x＞x0时，f'(x)＞0}，x=x0极小点
②if {x＜x0时，f'(x)＞0，x＞x0时，f'(x)＜0}，x=x0极大点
【例1】f(x)=x³-6x+2.
【……】
方法二（第二充分条件）
Th2，设f'(x)=0，f''(x){＞0极小点，＜0极大点}
证明：【……极限保号性……】
【例2】f'(1)=0，lim(x→1)f'(x)/sinπx=2，求x=1是极大点还是极小点？
解：法一：
∵lim(x→1)f'(x)/sinπx=2＞0，
∴∃δ＞0，当0＜|x-1|＜δ时，f'(x)/sinπx＞0，
①f'(x)＞0，x∈（1-δ，1）
②f(x)＜0，x∈（1，1+δ）
∴x=1是极大点.
法二：f'(1)=0，
2=lim(x→1)f'(x)/sinπx
=lim(x→1)f'(x)/sin[π+π(x-1)]
=-lim(x→1)f'(x)/sinπ(x-1)
=-lim(x→1)f'(x)/π(x-1)
=-1/πlim(x→1)[f'(x)-f'(1)]/(x-1)
=-1/πf''(1)
推出f''(1)=-2π＜0，
∵f'(1)=0，f''(1)＜0，
∴x=1为极大点.
【例3】图像
【……】
二、最大值与最小值
可能的极值点加上端点，最小的就是最小值m，最大的就是最大值M.
【例1】略，汤老师计算错误。
【例2】设p＞1，证：当x∈[0，1]时，
1/2^(p-1)≤x^p+(1-x)^p≤1.
证明：令f(x)=x^p+(1-x)^p∈C[0，1]
令f'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)=0得x=1/2
∵f(0)=1=f(1)＞f(1/2)=1/2^(p-1)
∴m=1/2^(p-1)，M=1，
∴原式得证.
【实际问题】
【例1】运费
【思考】
第五节结束
看第六节。
3.6 函数图像描绘
内容不多，也不太重要。但听的话就要听清楚。
1°，x∈D
2°，增减性，f'(x)等于0或不存在的点，增减分界点，驻点
3°，凹凸性，f''(x)等于0或不存在的点，凹凸分界点，拐点
4°，渐近线
5°，描图
……
水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线。
lim(x→∞)f(x)=A，lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→∞)[f(x)-ax]=b.
【例1234】
二、作图
1°，x∈D
2°，增减性，f'(x)等于0或不存在的点，增减分界点，驻点
3°，凹凸性，f''(x)等于0或不存在的点，凹凸分界点，拐点
4°，渐近线
5°，画表
x （）？（）？（）？（）
f'(x)+ x1 - x2
f''(x)+ x1 + x2
f(x)凹增 x1 凹减
6°，找关键点描图
……
3.6节重点是渐近线。
3.7 弧微分与曲率
一、弧微分
先吃晚饭，一会儿再来看3.7节。
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