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9.3 全微分

一、二元函数全微分定义

全增量。……可全微。AΔx+BΔy全微分。d∂|(x₀,y₀)=AΔx+BΔy,习惯写成Adx+Bdy。

二、结论

Th1,可微→连续。

Th2,在一点可微,→可偏导。

【注解】在一点连续不一定可微。可偏导不一定可微。

【例1】【例2】

Th3,【可微充分条件】若两个偏导数连续(或连续可偏导),则f(x,y)可微。

连续可偏导→可微→连续

连续可偏导→可微→可偏导

dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy

【例3】

9.4 多元复合函数求导法则

情形一:

Th1,dz/dt=∂f/∂u×du/dt+∂f/∂v×dv/dt.

【例1】

Th2,连续可偏导……

∂z/∂x=∂f/∂u·∂u/∂x+∂f/∂v·∂v/∂x.

∂z/∂y=∂f/∂u·∂u/∂y+∂f/∂v·∂v/∂y.

【例3】【例4】【例5】【例6】【例7】【例8】

9.5 隐函数的求导法则

一、一个约束条件的情形

Th1,F(x,y)在M₀邻域内连续可偏导,且F(x₀,y₀)=0,Fy'(x₀,y₀)≠0,则由F(x,y)=0在M₀邻域内唯一确定一个连续可导函数y=f(x),使y₀=f(x₀).

dy/dx=-Fx'/Fy'.

……

F(x,y)=0,确定了一个一元函数。

【例1】

Th2,F(x,y,z)在M₀(x₀,y₀,z₀)邻域内连续可偏导,F(x₀,y₀,z₀)=0,Fz'(x₀,y₀,z₀)≠0,则……确定唯一连续可偏导

z=φ(x,y),且z=φ(x₀,y₀),有

∂z/∂x=-Fx'/Fz',∂z/∂y=-Fy'/Fz'.

……

【解释】……

【例2】

二、两个约束条件的情形

Th3,……≠0,则……,……

【注解】①行列式对调两行(或两列)变为相反数。

②……克莱姆法则

③行列式一行(或一列)有公因子可提取。

【例3】【例4】

……

总觉得下雨让我脑阔疼,其实是高数让我脑阔疼。歇了,明天再看下一节多元函数在微分学的几何应用。

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